luogu P11996 题解

思路：

我们需要计算所有可能的 $a_n \times b_n$ 的值，其中：

• $a_n$ 是 $2^n$ 的最高非零位。

• $b_n$ 是 $5^n$ 的最高非零位。

观察规律：

我们尝试手算寻找规律：

$2^n$ 的最高非零位：

$2^1 = 2$，最高非零位为 $2$。

$2^2 = 4$，最高非零位为 $4$。

$2^3 = 8$，最高非零位为 $8$。

$2^4 = 16$，最高非零位为 $1$。

$2^5 = 32$，最高非零位为 $3$。

$2^6 = 64$，最高非零位为 $6$。

$2^7 = 128$，最高非零位为 $1$。

$2^8 = 256$，最高非零位为 $2$。

$2^9 = 512$，最高非零位为 $5$。

$2^{10} = 1024$，最高非零位为 $1$。

我们发现循环位为：

$$
2\ 4\ 8\ 1\ 3\ 6\ 1\ 2\ 5\ 1
$$

$5^n$ 的最高非零位：

$5^1 = 5$，最高非零位为 $5$。

$5^2 = 25$，最高非零位为 $2$。

$5^3 = 125$，最高非零位为 $1$。

$5^4 = 625$，最高非零位为 $6$。

$5^5 = 3125$，最高非零位为 $3$。

$5^6 = 15625$，最高非零位为 $1$。

$5^7 = 78125$，最高非零位为 $7$。

$5^8 = 390625$，最高非零位为 $3$。

$5^9 = 1953125$，最高非零位为 $1$。

$5^{10} = 9765625$，最高非零位为 $9$。

我们发现循环位为：

$$
5\ 2\ 1\ 6\ 3\ 1\ 7\ 3\ 1\ 9
$$

我们再计算 $a_n \times b_n$：

$n$	$2^n$ 最高位 $a_n$	$5^n$ 最高位 $b_n$	$a_n \times b_n$
$1$	$2$	$5$	$10$
$2$	$4$	$2$	$8$
$3$	$8$	$1$	$8$
$4$	$1$	$6$	$6$
$5$	$3$	$3$	$9$
$6$	$6$	$1$	$6$
$7$	$1$	$7$	$7$
$8$	$2$	$3$	$6$
$9$	$5$	$1$	$5$
$10$	$1$	$9$	$9$

如果我们继续计算更多项会发现乘积结果在 $1$ 到 $10$ 之间循环出现。

不同的乘积：

通过上面的计算我们发现不同的乘积有：

$$
5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10
$$

总和为：

$$
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45
$$

最终答案为 $45$。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

signed main() {
	cout << 45;
	return 0;
}